Geometría: GED Preparación para Examen en Español

Ángulos

Un ángulo consiste en un punto final, o vértice y dos rayos.

Designar Ángulos

Hay tres maneras de designar un ángulo.

1. A un ángulo se le puede dar el nombre del vértice cuando no existen otros ángulos que compartan el mismo vértice: A.
2. Un ángulo puede ser representado por un número escrito sobre el vértice: 1.
3. Cuando más de un ángulo comparten el mismo vértice, se usan tres letras, y la letra de en medio representa el vértice: 1 se puede escribir como BAD o como DAB, 2 se puede escribir como DAC o como CAD.

Clasificar Ángulos

Los ángulos se pueden clasificar en las categorías siguientes: agudo, recto, obtuso, llano.

• Un ángulo agudo es un ángulo que mide menos de 90 grados.



• Un ángulo recto es un ángulo que mide exactamente 90 grados. Un ángulo recto se representa con un cuadrado en el vértice.



• Un ángulo obtuso es un ángulo que mide más de 90 grados, pero menos de 180 grados.



• Un ángulo llano es un ángulo que mide 180 grados. Por consiguiente, sus dos lados forman una línea.

Ángulos Complementarios

Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es igual a 90 grados.

Ángulos Suplementarios

Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es igual a 180 grados.

Ángulos Adyacentes

Los ángulos adyacentes tienen el mismo vértice, comparten un lado y no se traslapan.

La suma de todas las medidas de todos los ángulos adyacentes alrededor del mismo vértice es igual a 360 grados.

Ángulos de Líneas Que Se Cruzan

Cuando dos líneas se cruzan, se forman dos pares de ángulos no adyacentes llamados ángulos verticales.Los ángulos verticales tienen medidas iguales y son suplementarios a los ángulos adyacentes.

• m1 = m3 y m2 = m4
• m1 = m4 y m3 = m2
• m1 + m2 = 180 y m2 + m3 = 180
• m3 + m4 = 180 y m1 + m4 = 180

Bisecar Ángulos y Segmentos de Líneas

Se dice que los ángulos y líneas se bísecan cuando se dividen en dos partes de medidas iguales.

Segmento de línea AB se biseca en el punto C.

Según la figura, A es bisecado por el rayo AC.

Ángulos Formados por Líneas Paralelas

Cuando dos líneas paralelas son cruzadas por una tercera línea, se forman ángulos verticales.

• De estos ángulos verticales, cuatro serán iguales y agudos, y cuatro serán iguales y obtusos.
• Cualquier combinación de ángulo agudo y ángulo obtuso será suplementario.

En la figura de arriba:

• b, c, f y g son todos agudos e iguales.
• a, d, e y h son todos obtusos e iguales.
• Además, cualquier ángulo agudo sumado a cualquier ángulo obtuso será suplementario.

Ejemplos

mb + md = 180°
mc + me = 180°
mf + mh = 180°
mg + ma = 180°

Ejemplo

En la figura a continuación, si m || n y a || b, ¿cuál es el valor de x

Solución

Ya que los dos grupos de líneas son paralelos, se sabe que x° se puede sumar a x + 10 parallegar a 180. Por consiguiente, la ecuación es x + x + 10 = 180.

Ejemplo

Halle x:

Por consiguiente, mx = 85 y el ángulo obtusoes igual a 180 – 85 = 95.

Ángulos de un Triángulo

La suma de las medidas de los tres ángulos en un triángulo siempre es igual a 180 grados.

Ángulos Exteriores

Un ángulo exterior se puede formar extendiendo un lado de cualquier de los tres vértices de un triángulo. Aquí hay unas reglas para trabajar con los ángulos exteriores:

• Un ángulo exterior un y ángulo interior que comparten el mismo vértice son suplementarios.
• Un ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes.

Ejemplo

m1 = m3 + m5

m4 = m2 + m5

m6 = m3 + m2

La suma de los ángulos exteriores de un triánguloes igual a 360 grados.

Triángulos

Es posible clasificar los triángulos en tres categorías según el número de lados iguales:

También es posible clasificar los triángulos en tres categorías según la medida del ángulo mayor:

Relaciones entre Ángulos y Lados

Será útil saber las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos isósceles, equiláteros, y rectos al tomar el examen de matemáticas del GED.

• Los triángulos isósceles tienen dos ángulos iguales opuestos a dos lados iguales.



• Los triángulos equiláteros tienen todos los lados iguales y todos los ángulos iguales.



• En el caso de un triángulo recto, el lado opuesto al ángulo recto se llama la hipotenusa.Es el mayor lado del triángulo recto.

Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras es una herramienta muy importante cuando se trabaja con triángulos rectos. Declara: a² + b² = c², donde a y b representan los lados y c representa la hipotenusa.

Este teorema le permite que halle la longitud de cualquier lado siempre que se sepa la medida de los dos otros lados.

a² + b² = c²
1² + 2² = c²
1 + 4 = c²
5 = c²
5 = c

45-45-90 Triángulos Rectos

Un triángulo recto con dos ángulos que miden 45 grados cada uno se llama un triángulo isósceles recto. En el caso de un triángulo isósceles recto:

• La longitud de la hipotenusa se 2 multiplicapor la longitud de uno de los lados del triángulo.
• La longitud de cada lado se multiplica por la longitud de la hipotenusa.

Triángulos de 30-60-90

Cuando hay un triángulo recto donde los otros ángulos miden 30 y 60 grados:

• El lado opuesto al ángulo de 30 grados es la mitad de la longitud de la hipotenusa. (Y, por consiguiente, la hipotenusa mide dos veces más que la longitud del lado opuesto al ángulo de 30 grados.)
• El lado opuesto al ángulo de 60 grados mide tres veces más que la longitud del otrolado.

Comparar Triángulos

Los triángulos se llaman congruentes (indicado por el símbolo ) cuando tienen exactamente el mismo tamaño y la misma forma. Dos triángulos son congruentes si sus elementos correspondientes (sus ángulos y lados) son congruentes. A veces, es fácil determinar si dos triángulos son congruentes sólo almirarlos. Sin embargo, en la geometría usted debe saber comprobar que los triángulos son congruentes

Si los dos triángulos son congruentes, tiene que cumplirse uno de los tres criterios aquí enumerados.

Lado-Lado-Lado (LLL)—Las medidas de todos los lados de los dos triángulos son iguales.
Lado-Ángulo-Lado (LAL)—Dos lados y el ángulo entre ellos son iguales.
Ángulo-Lado-Ángulo (ALA)—Dos ángulos y el lado entre ellos son iguales.

Ejemplo: ¿Son congruentes ΔABC y ΔBCD

Dado: ABD es congruente a CBD y ADB es congruente a CDB. Los dos triángulos comparten el lado BD.

Paso 1: Indica las congruencias dadas en la figura.

Paso 2: Decida si la información es suficiente para comprobar la congruencia de los dos triángulos. Sí, dos ángulos y el lado entre ellos son iguales. Usando la regla ALA, se puede determinar que el triángulo ABD es congruente al triángulo CBD.

Polígonos y Paralelogramos

Un polígono es una figura cerrada con tres o más lados.

Términos Relacionados con Polígonos

• Los vértices son puntos de esquina, también llamados puntos finales, de un polígono. Los vértices en el polígono de arriba son A, B, C, D, E y F.
• Una diagonal de un polígono es un segmento de línea entre dos vértices no adyacentes. Las dos diagonales en el polígono de arriba son los segmentos de línea BF y AE.
• Un polígono regular tiene todos sus lados y ángulos iguales.
• Un polígono equiángulo tiene todos sus ángulos iguales.

Ángulos de un Cuadrilateral

Un cuadrilateral es un polígono de cuatro lados. Yaque un cuadrilateral puede ser dividido por una diagonal para crear dos triángulos, la suma de sus ángulos interiores será igual a 180 + 180 = 360 grados.

Ángulos Interiores

Para hallar la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono, use esta fórmula:

S = 180(x – 2)°, donde x es el número de lados del polígono.

Ejemplo

Halle la suma de los ángulos en el polígono a

continuación:

S = (5 – 2) × 180°

S = 3 × 180°

S = 540°

Ángulos Exteriores

Al igual que los ángulos exteriores de un triángulo, la suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es igual a 360 grados.

Polígonos Similares

Si dos polígonos son similares, sus ángulos correspondientes son iguales y las razones de los lados correspondientes son proporcionales.

Ejemplo

Estos dos polígonos son similares porque sus ángulos son iguales y las razones de los lados correspondientes son proporcionales.

Paralelogramos

Un paralelogramo es un cuadrilateral con dos pares de lados paralelos.

En la figura anterior, la línea AB || CD y BC || AD. Un paralelogramo tiene:

• Los lados opuestos que son iguales (AB = CD yBC = AD)
• Ángulos opuestos que son iguales (ma = mc y mb = md)
• Y ángulos consecutivos que son suplementarios (ma + mb = 180°, mb + mc = 180°, mc + md = 180°, md + ma = 180°)

Paralelogramos Especiales

• Un rectángulo es un paralelogramo que tiene cuatro ángulos rectos.



• Un rombo es un paralelogramo que tiene cuatro lados paralelos.



• Un cuadrado es un paralelogramo que tiene todos los ángulos de 90 grados, y todos los lados son de longitud igual.

Diagonales

En todos los paralelogramos, las diagonales se cortan la una a la otra en dos mitades iguales.

• En un rectángulo, las diagonales son de la misma longitud.



• En un rombo, las diagonales se cruzan para formar ángulos de 90 grados.



• En un cuadrado, las diagonales tienen la misma longitud y se cruzan para formar ángulos de 90 grados.

Figuras Sólidas, Perímetro y Área

El GED le proporciona varias fórmulas geométricas. Estas fórmulas se enumerarán y se explicarán en esta sección. Es importante que usted pueda reconocer las figuras por sus nombres y entender cuándo utilizar las fórmulas apropiadas. No se preocupe. Usted no tiene que aprender de memoria estas fórmulas. Se le proporcionarán a usted en el examen.

Para iniciar, es necesario explicar los cinco tipos de medidas:

1. Perímetro

El perímetro de un objeto no es más que la suma de todos sus lados.



2. Área

El área es el espacio dentro de las líneas que definen la forma.



3. Volumen

El volumen es una medida de un objeto de tres dimensiones, tal como un cubo o un sólido rectangular. Una manera fácil de entender el concepto del volumen es pensar en cómo llenar un objeto de agua. El volumen corresponde a la cantidad de agua que cabe adentro.



4. Área superficial

El área superficial de un objeto mide el área de cada uno de sus superficies. El área superficial total de un sólido rectangular es dos veces más que la suma de las áreas de tres superficies. En un cubo, sólo multiplique el área superficial de uno de sus lados por seis.



5. Circunferencia

La circunferencia es la medida de la distancia alrededor del exterior de un círculo.

Geometría de Coordenadas

La geometría de coordenadas es un tipo de operaciones geométricas relacionadas con un plano de coordenadas. Un plano de coordenadas es una cuadrícula de cuadrados divididos en cuatro cuadrantes por un eje horizontal (x) y un eje vertical (y). Estos dos ejes se cruzan en el punto de coordenadas, (0,0), el origen. Un punto de coordenadas, también llamado un par ordenado, es un punto específico en el plano de coordenadas. El primer número, o coordenada, representa la posición horizontal; y el Segundo número, o coordenada, representa la vertical. Los puntos de coordenadas se presentan en la forma de (x,y).

Localizar pares Ordenadas

La coordenada x:

• La coordenada x se enumera primero en el par ordenado y le indica cuántas unidades se mueve a la izquierda o a la derecha. Si la coordenada x es positiva, se mueve a la derecha. Si la coordenada x es negativa, se mueve a la izquierda.

La coordenada y:

• La coordenada y se enumera segundo y le dice cuántas unidades se mueve hacia arriba o hacia abajo. Si la coordenada y es positiva, se mueve hacia arriba. Si la coordenada y es negativa, se mueve hacia abajo.

Ejemplo

Localice en la gráfica los puntos siguientes puntos: (2,3), (3,–2), (–2,3) y (–3,–2).

Note que la gráfica se divide en cuatro cuadrantes con un punto localizado en cada uno.

Aquí hay una tabla que indica cómo los pares ordenados se reparten entre los cuadrantes basados en sus signos:

Longitudes de Segmentos Horizontales y Verticales

Dos puntos con la misma coordenada y quedan en la misma línea horizontal y dos puntos con la misma coordenada x quedan en la misma línea vertical. La longitud de un segmento horizontal o vertical se puede hallar tomando el valor absoluto de la diferenciade los dos puntos, o contando los espacios entre ellos en la gráfica.

Ejemplo

Halle la longitud de la línea AB y de la línea BC.

Solución

| 2 – 7 | = 5 =

| 1 – 5 | = 4 =

Punto Medio

Para hallar el punto medio de un segmento, use la fórmula siguiente:

Ejemplo

Halle el punto medio del segmento de la línea AB.

Solución

Pendiente

La pendiente de una línea mide su inclinación. La pendiente se halla anotando el cambio en las coordenadas y de cualquier dos puntos en la línea, sobre el cambio en las coordenadas x correspondientes. (Esto también se conoce como la distancia ascendida sobre la distancia corrida.) El último paso es simplificar la fracción resultante.

Ejemplo

Halle la pendiente de una línea que contiene los puntos (3,2) y (8,9).

Solución

Por consiguiente, la pendiente de la línea es .

Nota: Si se sabe cuál es la pendiente y por lo menos un punto en una línea, se puede hallar las coordenadas de otros puntos en la línea. Sólo mueva las unidades necesarias según dicte la pendiente. En el ejemplo anterior, de (8,9), dada la pendiente , mueva siete unidades hacia arriba y cinco unidades a la derecha. Por lo tanto, otro punto en la línea es (16,13).

Información Importante Sobre la Pendiente

• Una línea que sube desde la izquierda hacia la derecha tiene una pendiente positiva, y una línea que baja desde la izquierda hacia la derecha tiene una pendiente negativa.
• Una línea horizontal tiene una pendiente de 0, y una línea vertical no tiene ninguna pendiente en absoluto—se caracteriza como "no definida."
• Las líneas paralelas tienen pendientes iguales.
• Las líneas perpendiculares tienen pendientes que son recíprocos negativos entre sí.