Álgebra: GED Preparación para Examen en Español (page 2)

Cuando usted haga el examen de matemáticas del GED, se le pedirá que solucione unos problemas con álgebra básica. Esta lección le ayudará a dominar las ecuaciones algebraicas, familiarizándose con los polinomios, el método PAIS, el descomponer en factores, las ecuaciones cuadráticas, las desigualdades y los exponentes.

¿Qué es el álgebra?

El álgebra es un sistema organizado de reglas que ayuda a solucionar problemas para hallar "desconocidos." Este sistema de reglas es parecido a las reglas de un juego de mesa. Como en cualquier juego, para tener éxito con el álgebra, hay que aprender los términos apropiados para jugar. Mientras usted trabaje con la sección a continuación, asegúrese de prestar mucha atención a cualquier palabra nueva que pueda encontrar. Una vez que entienda lo que se le pide, será mucho más fácil entender los conceptos algebraicos.

Ecuaciones

Una ecuación se soluciona hallando un número que equivale a una variable desconocida.

Reglas Sencillas para Trabajar con Ecuaciones

1. El signo igual divide una ecuación en dos lados.
2. Siempre que se hace una operación en un lado, la misma operación se debe hacer en el otro lado.
3. Su primera meta es mover todas las variables a un lado y todos los números al otro lado.

Frecuentemente, el último paso será dividir cada lado por el coeficiente, el número enfrente de la variable, dejando la variable sola e igual a un número.

Ejemplo

Verificar Ecuaciones

Para verificar una ecuación, sustituya el número que es igual a la variable en la ecuación original.

Ejemplo

Para verificar la ecuación que usted acaba de solucionar, sustituya el número 8 por la

variable m.
5m + 8 = 48
5(8) + 8 = 48
40 + 8 = 48
48 = 48

Ya que esta ecuación es verdadera, se sabe que la respuesta m = 8 debe ser correcta.

Descomponer en Factores

El descomponer en factores es el inverso de la multiplicación:

Multiplicación: 2(x + y) = 2x + 2y

Descomponer en factores: 2x + 2y = 2(x + y)

Tres Clases Básicas de Descomponer en Factores

• Sacar un monomio común.
• 10x² – 5x = 5x(2x – 1) y xy – zy = y(x – z)
• Descomponer un trinomio cuadrático usando el inverso de PAIS:
• y² – y – 12 = (y – 4)(y + 3) y z² – 2z + 1 = (z – 1)(z – 1) = (z – 1)2
• Descomponer la diferencia entre dos cuadrados perfectos usando la regla:

a² – b² = (a + b)(a – b) y x² – 25 = (x + 5)(x – 5)

Sacar un Factor Común

Si un polinomio contiene términos que tengan factores comunes, se puede descomponer el polinomio usando el inverso de la propiedad distributiva.

Ejemplo

En el binomio 49x³ + 21x, 7x es el máximo común factor de los dos términos.

Por consiguiente, se puede dividir 49x³ + 21x por 7x para hallar el otro factor.

Por lo tanto, el descomponer 49x³ + 21x resulta en 7x(7x² + 3).

Ecuaciones Cuadráticas

Una ecuación cuadrática es una ecuación en la cual el exponente mayor de la variable es 2, por ejemplo x² + 2x – 15 = 0. Una ecuación cuadrática tiene dos raíces, las cuales se pueden hallar descomponiendo la ecuación cuadrática en dos ecuaciones sencillas.

Ejemplo

Solucione x² + 5x + 2x + 10 = 0.

Combine los términos similares: x² + 7x + 10 = 0

Descomponga: (x + 5)(x + 2) = 0

x + 5 = 0 o x + 2 = 0

Ahora verifique las respuestas.

–5 + 5 = 0 and –2 + 2 = 0

Por consiguiente, x es igual a –5 y a –2.

Desigualdades

Las desigualdades lineares se solucionan de la misma manera que las ecuaciones sencillas. La diferencia más importante es que multiplicar o dividir una desigualdad por un número negativo, el símbolo de desigualdad cambia de dirección.

Ejemplo

10 > 5, pero si se multiplica por –3,

(10)(–3) < (5)–3

–30 < –15

Solucionar Desigualdades Lineares

Para solucionar una desigualdad linear, aísle la letra y soluciónela de la misma manera que una ecuación. Acuérdese de invertir la dirección del signo de desigualdad si divide o multiplica los dos lados de la ecuación por un número negativo.

Ejemplo

Si 7 – 2x > 21, halle x.

Aísle la variable.

7 – 2x > 21

7 – 2x – 7 > 21 – 7

–2x > 14

Ya que se divide por un número negativo, la dirección del símbolo de desigualdad cambia.

x < –7

La respuesta consiste en todos los números reales menores que –7.

Exponentes

Un exponente indica cuántas veces el número, llamado la base, es un factor del producto.

Ejemplo

A veces se verá un exponente con una variable:

bn

La b representa un número que es un factor de sí mismo n veces.

Ejemplo

bⁿ donde b = 5 y n = 3

No se deje engañar por las variables. La mayoría de las expresiones son muy fáciles una vez que se hayan sustituido los números.

bⁿ = 5³ = 5 ×5 ×5 = 125

Leyes de los Exponentes

• Cualquier base a la potencia de cero siempre es igual a 1.

5⁰ = 1 70⁰ = 1 29,874⁰ = 1

• Cuando se multiplican bases idénticas, sume los exponentes.

2² · 2⁴ · 2⁶ = 2¹² a² · a³ · a⁵ = a¹⁰

• Cuando se dividen bases idénticas, reste los exponentes.
  
• Aquí hay otro método que explicar la multiplicación y la división de exponentes:

b^m · bⁿ = b^{m + n}

b^m ÷ bⁿ = b^{m – n}

• Si un exponente aparece fuera de los paréntesis, multiplique los dos exponentes.

(3³)⁷ = 3²¹

(g⁴)³ = g¹²